Usk ja liikumise olemasolu.

Homoteetsusteguri k kahetine olemus (+,-)k.
Erirelatiivsusteooria sellele mitte mingit mõtet ei omista.
Leian aga, et sellele tuleb erilist tähelepanu pöörata nimelt siis, kui kõne all on kiirusel v liikuva keha trajektoor, mis on "laiali määrdunud" (sõltuvalt Vaatlejast kui "ümbrusest") ning "kokkutõmbunud" x-telje suhtes. Need ruumimuutused (niikui teisendused isegi) ei toimu "ajas", kuid on ühtlasi vaadeldavad "mõlemal pool x-telge korraga".
Taoline liikumise vaatlus ei ole võimalik nö. lähimõju printsiibi kohaselt (paradoksaalselt aga erirelatiivsusteoorias pikkuste kontraktsioon on?!). Kaugmõju printsiibi kohaselt mõjub selline homoteetsus aga ruumile koheselt, ilma et vajataks selleks mingeid "kandjaid".
Eriti iseloomulik on selline nähe nö. "torus" - ühtlaselt ümbritsevas keskkonnas, mis hajutab keha trajektoori tõenäosuslikult.

Funktsionaalne k arvutus (eelmine oli tingitud ka teisenenud ruumi eukleidilisus-nõudest).
Vaatleme "lähenevat" keha, kaugusel r = ct vaatlejast V, kiirusel v = ccosa x-teljega paralleelselt.
Tähistame teisendusfunktsiooni rakendamist ikka f(ct), kuid vastand-teisendus-funktsiooni vastavalt 
f(-)(ct) = ct[1 + (v/c)cosa], millega saab seletatud vaatleja V jaoks, algasukohast x = 0, "eemaldumine", x-telje negatiivses suunas.
Näeme, et sellises vaatluses V järjestrakendab lõigule (ja kogu ruumile) funktsioone f ja f(-) kujul:
f(-)[f(ct)] = ct[1 - (v/c)cosa][1 + (v/c)cosa]. Kui me nüüd tähistame mingi "keskmistatud" funktsiooni h, sellise et  hh = f(-)f, siis leiamegi, et k = h.
(Siin näib olevat mõisteline segadus, kui me arvutame funktsioonide rakendamisega ja seejärel nende korrutamisega, kuid see selgineb, kui arvestada seda kui Boole`i algebra mõttekäiku - arvutamist seostega ja nende rakendamist kui funktsionaalset teisendust. Siin, ja ka edaspidi, kasutan küllalt laialdast sõnavaralist vabadust - intuitiivsete selgituste piltlikustamiseks.)

Nostalgiliselt (5b?) ruumi eukleidilisusest ja "Egiptuse kolmnurgast"
Galilei ruumiteisendustes - Einsteini peeglikatse mudelis.

Olgu meil Vaatleja V mingil ct-ga võrreldaval kaugusel liikuvast peegelpinnast, mis liigub kiirusel v . Olgu see v samuti võrreldav valgussignaali kiirusega c.
Küsime: millise nurga all peaks V saatma peeglile signaali, et ise saaks peegeldunud signaali kätte? Lahendus olgu täisarvuline.

Täisarvulisuse nõudel valime: ct = 5; vt = 3;
On kerge näha, et V saadab signaali täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi-pidi, Egiptuse kolmurgas (3; 4; 5) ja et liikuv peegelpind asub vaatlejasat V kaugusel y`= 4.
(Ilmne, et kiiruse v suurenedes "läheneb" peegel teljele x, näiteks kolmnurgas (4; 3; 5)).

Einsteini peeglikatse,
mõtteline, viide: "Füüsikaline entsüklopeediline sõnaraamat", vene k., Moskva, "Sovetskaja entsüklopeedia", 1984, lk. 869., joon.1.

Pean seda viidet vajalikuks - edaspidises spekulatiivses arutluses Liikumise filosoofiast. Esiteks: see on eksperimentaalselt tõestatud fakt, millega püüti anda liikuvatele osakesekimpudele suuremat energiat, kuigi see osutus ebaefektiivseks; teiseks näitab see katse relativistlikel kiirustel liikuvate kehade trajektooride mittevastavust klassikalistele arusaamadele - kiirustel, mis on võrreldavad suurustega v/c .

Fakt, et peegelpinna, kui kahe erineva keskkonna puutetasapinna, liikumise (ka ristsuunalise!)  kiirusest (pärast teatud kiiruse v suurust), nii et peegelduv signaal (valgusfooton) põrkub tagasi piki peegelpinna normaali - on seostatav Galilei ruumiteisendustest leitava: kiiruse v ristsihis homoteetsusega (teguriga k) - vastavalt võrdelisega Vaatleja kaugusest peegelpinnast: y`= kctsina; või siis peegeldunud signaali lainesageduse muuduga w`= kw.

Selline seos oleks asjakohane - katsevõimalustes kaasaegseis kiirendeis.

järg 1.
Jätkame arutlust Galilei ruumiteisenduste (seos (3)) määratluses.

Erirelatiivsusteooriast tuntud postulaat signaali absoluutsusest igas inertsiaalsüsteemis eraldi, saab piltlikus "Achilleuse - Kilpkonna loos" vaadelda kujul:
- Seisku Achilleus (suure) K(1) peal ja lasku vibust noolega  K(2)-te; noole kiirus olgu a, kilpkonnad aga liikugu ühtlaselt samas suunas kiirusel k.
On selge, et kilpkonnade taustsüsteemis liigub nool ikka kiirusel a, niikui see lendaks ka maapinnalt. Selle näitamiseks arutleme.
Vaatleme maapinnalt 2 sündmust: A poolt väljalastava noole lennutamist ja noole jõudmist K(2)-ni.
Funktsionaalselt on tegu funktsioonide f ja g järjestrakendamisega - ruumivahemikule at:
g [ f(at) ] = (at - kt)/(1 - k/a) = at(1 - k/a)/(1 - k/a) = at. .......(4)
(Selline tulemus on sisuliselt pöördfunktsiooni definitsioonis: kui eksisteerib f(g(ct)) = ct, siis g on f pöördfunktsioon.)

Aberratsiooninurk a`arvutatakse erirelatiivsusteooriast tuntud (samaste!) seostega:
sina = y/r; cosa = x/r; vastavalt  sina`= y`/r`; cosa`= x`/r`; millest
sina`= ky/(1 - (v/c)cosa); cosa`= (ctcosa - vt)/ct(1 - (v/c)cosa) = (cosa -v/c)/(1 -(v/c)cosa);  .............(5).

Doppleri ristefekt (samuti kui Hubble`i punanihe - alates teatud suurtest kaugustest ja c-ga võrreldavaist relatiivseist kiirusist) on ilmselge:
y`= ky; ja w`= kw; milles w on kiirusel v liikuva objekti poolt kiiratava valguse sageduse muut, paigalolevale vaatlejale.

Zenoni apooria;
- Kuskohal saab Achilleus (A) kätte kilpkonna (K), kui vastavad kiirused on a ja k ning A on mõõtnud alghetke kauguse AK = at ?
Galilei teisendus sihil (v;x): r = x; r`= x`= x - vt; ...........(1)
Galilei-Newtoni teisendused Cartesiuse ristkoordinaadistikus:
x`= x - vt; y`= y;
Kui r = ct; siis x = ctcosa; y = ctsina;
x`= ctcosa - vt; y`= y;   r`= ct - vtcosa; on vastuolus eukleidilisusega, millest Erirelatiivsusteooria tuletab:
r`= f(ct) = Lct[1 - (v/c)cosa]; {x`= Lct[cosa - (v/c)]; y`= y;};  g = 1/f; g(ct) = ct/[1 - (v/c)cosa];..........(2),
milles L - on nn. Lorentz-tegur ning sageli loetakse cosa = v(x)/ct.
Teisendusfunktsiooni f pöördfunktsiooni g rakendamist tõlgendatakse kui "sündmuste geomeetriat" (Riemanni geomeetrias nn. Minkowski maailm, mis on eukleidiline).

Galilei ruumiteisendused saame "erirelatiivsusteooria ruumi E`" homoteetsuses, teguriga k =1/L:
(lihtsuse mõttes loeme f ja g samasteks: teisendusfunktsiooniks ja selle pöördfunktsiooniks):
f(ct) = ct[1 -(v/c)cosa]; { x`= x - vt; y`= ky;} g(ct) = 1/[1 - (v/c)cosa]}...................(3).

Zenoni apooria vastuseks on.
  Achilleus saab Kilpkonna kätte oma esialgsest kohast A(0) kaugusel:
g(at) = at/[1 -(a/k)].........(4).